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E.R.M.R

ENONCES-REPRESENTATIONS-MODELISATIONS-RESOLUTIONS.

Le document qui suit à pour objectif de faire comprendre le processus de résolution d'un problème donné par un énoncé exprimé sous forme littérale et ayant une question.

 

Il est d'abord question d'être capable de représenter cet é n oncé et cette question.

La repr é s e n tation sera validée si celle-ci permet de reconstruire la question ainsi que l'énoncé (dépouillé éventuellement de données non pertinentes pour résoudre le problème).

 

La mod é li s a tion est l'étape où l'on montre que la représentation n'est pas qu'une simple traduction de l'énoncé.

Un modèle montre, fait comprendre qu'il permet de générer de nouvelles informations en expliquant comment il fonctionne.

 

Une résolu t ion est un ensemble d'opérations qui permet d'atteindre une réponse en faisant fonctionner un modèle. Une résolution, un algorithme sera d'autant plus pertinent qu'il sera court. Cette rapidité dépend de l'élève, de ses compétences : à nommer les grandeurs et à se représenter les nombres….

 

 ENONCES -REPRESENTATIONS-MODELISATIONS-RESOLUTIONS :

 

1-On veut partager équitablement 253 bonbons entre 13 enfants. Combien chacun en recevra-t-il ?

 

2-On dispose de 253 joueurs pour un tournoi de rugby. Combien d'équipes de 13 joueurs pourra-t-on faire ?

 

3-Au café, 13 personnes se partagent une note de 253 euros, combien chacune d'elles devra-t-elle verser ?

 

4-Au restaurant, 13 personnes se partagent la note. Le serveur rend 253 euros de monnaie. Elles avaient versé chacune 100 euros. Combien chacune recevra-t-elle ?

 

5-Je dispose de 253 m de câble électrique. Je veux faire des rallonges de 13 m. Combien puis-je en faire ?

 

6-Je dispose de 253 m de câble électrique. Je veux faire 13 rallonges de même longueur. Quelle sera la plus grande longueur possible ?

 

7-Je veux ranger 253 bouteilles dans des casiers de 13 bouteilles. Combien me faut-il de casiers ?

 

8-On multiplie un nombre par 13, on trouve 253, quel était ce nombre ?

 

9-On lance 253 graines de blé à 13 poules, combien chacune en aura-t-elle ?

 

10-Sur une bande numérique, une puce saute de 13 en 13. De quelle case doit-elle partir pour arriver à la case 253 ?

 

11-On a un modèle réduit de voiture qui mesure 13 cm de long alors que la voiture réelle mesure 2,53 m. Quelle est l'échelle ?

 

12-Pour la même voiture quelle est sa longueur si on la réduit à l'échelle 1/13 ?

 

13-J'ai une photo carrée de 25,3 cm de côté. Elle a été agrandie de 130%. Quelle était la taille de l'original ?

 

14-Je dispose d'un agrandissement à 130% d'une photo. Je l'agrandis encore, j'obtiens un agrandissement à 253%. Quel est l'agrandissement ?

 

 

 

ENONCES-  REPRESENTATIONS -MODELISATIONS-RESOLUTIONS  :

 

Une représentation d'un énoncé est une traduction de l'énoncé.

La difficulté pour représenter l'énoncé d'un problème de mathématique consiste le plus souvent à être capable d'identifier et de nommer les grandeurs pertinentes du problème.

Il n'y a pas qu'un seul ensemble de grandeurs qui permettent de se représenter le problème.

Une représentation sera satisfaisante si celle-ci permet de reconstituer l'énoncé.

Le problème 8 se prête mal à une représentation sous forme d'un tableau utilisant des grandeurs.

Une grandeur est une quantité qui peut varier. Les données dans l'énoncé sont souvent une mesure particulière d'une grandeur qu'il s'agit de nommer. On peut aider à nommer des grandeurs pertinentes pour la représentation du problème en imaginant la succession d'opérations concrètes pour résoudre celui-ci. La phase de représentation n'est évidemment pas indépendante des phases de modélisation et de résolution de celui-ci.

 

1-On veut partager équitablement 253 bonbons entre 13 enfants. Combien chacun en recevra-t-il ?

 

 Quantité de bonbons à partager

253

             

0

Quantité de bonbons reçus par chacun

0

             

?

Quantité de bonbons distribués aux 13 enfants.

0

             

253

 

 

2-On dispose de 253 joueurs pour un tournoi de rugby. Combien d'équipes de 13 joueurs pourra-t-on faire ?

 

 Quantité de joueurs à répartir.

253

             

0

Quantité de joueurs répartis en équipe de 13 joueurs.

0

             

253

Quantité d'équipes.

0

             

?

 

3-Au café, 13 personnes se partagent une note de 253 euros, combien chacune d'elles devra-t-elle verser ?

 

Quantité donnée par chacun.

0

             

?

Quantité donnée par les 13 personnes.

0

             

253

Quantité restant à donner.

253

             

0

  4-Au restaurant, 13 personnes se partagent la note. Le serveur rend 253 euros de monnaie. Elles avaient versé chacune 100 euros. Combien chacune recevra-t-elle ?

 

Ce que chaque personne reçoit.

0

                 

?

Ce que le serveur a dans la main.

253

                 

0

Ce que les 13 personnes ont reçu.

0

                 

253

 

6-Je dispose de 253 m de câble électrique. Je veux faire 13 rallonges de même longueur. Quelle sera la plus grande longueur possible ?

 

Longueur en m du câble sur la bobine.

253

               

0

Longueur en m d'une rallonge.

0

               

?

Longueur en m du câble utilisé pour les 13 rallonges.

0

               

253

 

11-On a un modèle réduit de voiture qui mesure 13 cm de long alors que la voiture réelle mesure 2,53 m. Quelle est l'échelle ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

253

           

?

Dimensions du modèle réduit en cm.

13

           

1

 

 

12-Pour la même voiture quelle est sa longueur si on la réduit à l'échelle 1/13 ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

13

           

253

Dimensions du modèle réduit en cm.

1

           

?

 

13-J'ai une photo carrée de 25,3 cm de côté. Elle a été agrandie de 130%. Quelle était la taille de l'original ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

100

           

?

Dimensions du modèle agrandi en cm.

130

           

25,3

 

14-Je dispose d'un agrandissement à 130% d'une photo. Je l'agrandis encore, j'obtiens un agrandissement à 253%. Quel est l'agrandissement ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

100

             

Dimensions en cm du modèle agrandi, la première fois.

130

           

100

Dimensions en cm du modèle agrandi la deuxième fois.

253

           

?

 

 

Il n'y a pas que les tableaux numériques pour représenter un énoncé de problème  .

 

ENONCES-REPRESENTATIONS-  MODELISATIONS -RESOLUTIONS :

 

Après avoir choisi une représentation, en indiquant le mode de fonctionnement de celle-ci, on obtient une modélisation. La modélisation ne consiste pas uniquement à se représenter le problème.

Le travail de modélisation doit être séparé du travail de résolution.

Le problème 9 se prête mal à une représentation sous forme d'un tableau ayant peu de ligne, encore moins à la modélisation.

 

1-On veut partager équitablement 253 bonbons entre 13 enfants. Combien chacun en recevra-t-il ?

 

Quantité de bonbons à partager

253

240

           

0

Quantité de bonbons reçus par chacun

0

1

           

?

Quantité de bonbons distribués aux 13 enfants.

0

13

           

253

 

 2-On dispose de 253 joueurs pour un tournoi de rugby. Combien d'équipes de 13 joueurs pourra-t-on faire ?

 

Quantité de joueurs à répartir.

253

240

           

0

Quantité de joueurs répartis en équipe de 13 joueurs.

0

13

           

253

Quantité d'équipes.

0

1

           

?

 

3-Au café, 13 personnes se partagent une note de 253 euros, combien chacune d'elles devra-t-elle verser ?

 

Quantité donnée par chacun.

0

1

           

?

Quantité donnée par les 13 personnes.

0

13

           

253

Quantité restant à donner.

253

240

           

0

 

4-Au restaurant, 13 personnes se partagent la note. Le serveur rend 253 euros de monnaie. Elles avaient versé chacune 100 euros. Combien chacune recevra-t-elle ?

 

Ce que chaque personne reçoit.

0

1

               

?

Ce que le serveur a dans la main.

253

240

               

0

Ce que les 13 personnes ont reçu.

0

13

               

253

 

6-Je dispose de 253 m de câble électrique. Je veux faire 13 rallonges de même longueur. Quelle sera la plus grande longueur possible ?

 

Longueur en m du câble sur la bobine.

253

240

             

0

Longueur en m d'une rallonge.

0

1

             

?

Longueur en m du câble utilisé pour les 13 rallonges.

0

13

             

253

 

11-On a un modèle réduit de voiture qui mesure 13 cm de long alors que la voiture réelle mesure 2,53 m. Quelle est l'échelle ?

 

Dimensions du modèle réel, en cm.

253

506

         

?

Dimensions du modèle réduit, en cm.

13

26

         

1

 

Dimensions du modèle réel, en cm.

253

25,3

         

?

Dimensions du modèle réduit, en cm.

13

1,3

         

1

 

12-Pour la même voiture quelle est sa longueur si on la réduit à l'échelle 1/13 ?

 

Dimensions du modèle réel, en cm.

13

26

         

253

Dimensions du modèle réduit, en cm.

1

2

         

?

  Voir document : « Différentes représentations de l'énoncé d'un problème ».

 

13-J'ai une photo carrée de 25,3 cm de côté. Elle a été agrandie de 130%. Quelle était la taille de l'original ?

 

Dimensions du modèle réel, en cm.

100

10

20

       

?

Dimensions du modèle agrandi, en cm.

130

13

26

       

25,3

 

14-Je dispose d'un agrandissement à 130% d'une photo. Je l'agrandis encore, j'obtiens un agrandissement à 253%. Quel est l'agrandissement ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

100

             

Dimensions du modèle agrandi, la première fois, en cm.

130

260

         

100

Dimensions du modèle agrandi la deuxième fois, en cm.

253

506

         

?

 

ENONCES-REPRESENTATIONS-MODELISATIONS -  RESOLUTIONS  :

 

C'est en faisant fonctionner le modèle que l'on obtiendra une réponse, c'est-à-dire, une information, une déclaration nouvelle.

Faire fonctionner le modèle pour atteindre un objectif, c'est utiliser une procédure de résolution, il existe bien entendu plusieurs procédures de résolution pour un même modèle.

 

1-On veut partager équitablement 253 bonbons entre 13 enfants. Combien chacun en recevra-t-il ?

 

Quantité de bonbons à partager

253

240

123

   

6

   

0

Quantité de bonbons reçus par chacun

0

1

10

9

 

19

   

?

Quantité de bonbons distribués aux 13 enfants.

0

13

130

117

 

247

   

253

 

2-On dispose de 253 joueurs pour un tournoi de rugby. Combien d'équipes de 13 joueurs pourra-t-on faire ?

Quantité de joueurs à répartir.

253

240

123

   

6

   

0

Quantité de joueurs répartis en équipe de 13 joueurs.

0

13

130

117

 

247

   

253

Quantité d'équipes.

0

1

10

9

 

19

   

?

 

3-Au café, 13 personnes se partagent une note de 253 euros, combien chacune d'elles devra-t-elle verser ?

 

Don de chacun.

0

1

10

9

19

0,5

0,4

19,4

6

0,6

0,06

19,46

?

Don des 13 person.

0

13

130

117

247

6,5

5,2

252,2

78

7,8

0,78

252,98

253

Reste à donner.

253

240

123

 

6

   

0,8

     

0,02

0

 

11-On a un modèle réduit de voiture qui mesure 13 cm de long alors que la voiture réelle mesure 2,53 m. Quelle est l'échelle ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

253

506

25,3

253/13

19,461

   

?

Dimensions du modèle réduit en cm.

13

26

1,3

13/13

1

   

1

 

Dimensions du modèle réel en cm.

253

506

506x4

2024

20,24

   

?

Dimensions du modèle réduit en cm.

13

26

26x4

104

1,04

   

1

 

Dimensions du modèle réel en cm.

253

506

506x4

2024

20240

759

19481

?

Dimensions du modèle réduit en cm.

13

26

26x4

104

1040

39

1001

1

 

12-Pour la même voiture quelle est sa longueur si on la réduit à l'échelle 1/13 ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

13

26

260

6,5

253,5

   

253

Dimensions du modèle réduit en cm.

1

2

20

0,5

19,5

   

?

 

13-J'ai une photo carrée de 25,3 cm de côté. Elle a été agrandie de 130%. Quelle était la taille de l'original ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

100

10

20

50

10/13

253

253/13

?

Dimensions du modèle agrandi en cm.

130

13

26

65

1

13x25,3

25,3

25,3

 

 

14-Je dispose d'un agrandissement à 130% d'une photo. Je l'agrandis encore, j'obtiens un agrandissement à 253%. Quel est l'agrandissement ?

 

Dimensions du modèle réel en cm.

100

         

Dimensions du modèle agrandi, la première fois, en cm.

130

260

2600

 

100

100

Dimensions du modèle agrandi la deuxième fois, en cm.

253

506

5060

 

5060/26

@ 194,62